定点数与浮点数

定点数与浮点数

实数在计算机中的表达

讲真,以前都没有注意过浮点数运算中存在的问题,以为使用浮点数就可以很好解决精度问题,直到遇到下面这段简单的 JavaScript 代码:

var x = 0.3;
var y = 0.2;
var z = 0.1;

console.log((x - y) == (y - z));  \\ => false
console.log((y + z) == x);        \\ => false

上面示例代码中的两个 false 输出让我这个新手有点难以接受,而一番搜索之后发现这个问题并不是只在 JavaScript 中存在,只要是采用 IEEE-754 表示浮点数的编程语言都会有这个问题,而几乎所有现代编程语言都采用这个标准。

所以找来 CSC231 An Introduction to Fixed- and Floating-Point Numbers 这篇文章深入研读一下,顺便尝试翻译留作笔记。当然,这篇文章是先从定点数开始的……

定点数

计算机处理整数和实数是完全不同的,在计算机系统的发展过程中,曾经提出过多种方法表达实数(常见实数如 π=3.14159265...\pi = 3.14159265...e=2.71828...e = 2.71828...),浮点数 (Floating Point Number) 和定点数 (Fixed Point Number) 就是其中两种。在定点数表达方式中,小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。货币的表达就可以使用这种方式,比如 99.00 或者 00.99 可以用于表达具有四位精度 (Precision)、小数点后有两位数的货币值。由于小数点位置固定,所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。

定点数表示法的缺点在于其形式过于僵硬,固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分,不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。最终,绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。这种表达方式利用科学计数法来表达实数,即用一个尾数 (Mantissa),一个基数 (Base),一个指数 (Exponent) 以及一个表示正负的符号来表达实数。

十进制表示

先来看看实数在我们熟悉的十进制系统下是怎么表示的吧,例如实数 123.45:

123.45=1×102+2×101+3×100+4×101+5×102123.45 = 1 \times {10^2} + 2 \times {10^1} + 3 \times {10^0} + 4 \times {10^{ - 1}} + 5 \times {10^{ - 2}}

小数点之前,10 的幂每一位减小 1,而小数点后也一样,每一位的权重是前一位的 110\frac {1}{10}

二进制数表示

与十进制的表示方式类似,在二进制中,将十进制中的底数 10 换作 2 即可表示无符号的二进制数,例如 1101.11:

1101.11=1×23+1×22+0×21+1×20+1×21+1×221101.11 = 1 \times {2^3} + 1 \times {2^2} + 0 \times {2^1} + 1 \times {2^0} + 1 \times {2^{ - 1}} + 1 \times {2^{ - 2}}

将其换算为十进制数即是:8+4+1+0.5+0.25=13.758 + 4 + 1 + 0.5 + 0.25 = 13.75

所以,假设我们知道一个二进制数中小数点的位置,就可以很容易得到其表达的真实数值。

当固定二进制数中的小数点的位置,那么该点左侧的每一位则可以通过 2k{2^k} 来权量 (k 为正),而右侧的每一位同样可用 2n{2^n} 权量 (n 为负)。那么,一个 16 位的数就可以采用下面的方式表示(注意其中小数点的位置):

b7b6b5b4b3b2b1b0.b1b2b3b4b5b6b7b8{b_7}{b_6}{b_5}{b_4}{b_3}{b_2}{b_1}{b_0}.{b_{ - 1}}{b_{ - 2}}{b_{ - 3}}{b_{ - 4}}{b_{ - 5}}{b_{ - 6}}{b_{ - 7}}{b_{ - 8}}

定义

通过上面的介绍,我们就可以定义一个无符号的二进制定点数:有 a 个整数位(小数点左边的位数),b 个小数位(小数点右边的位数),则可以使用 U(a,b) 来表示这个数。

例如,一个隐含小数点位于中间的 16 位数就可以用 U(8,8) 表示。

同时,对于一个 N 位的二进制数 U(a,b) 其真实值可通过下式计算:

x=(1/2b)n=0N12nxnx=(1/2^b)\sum_{n=0}^{N-1}2^nx_n

来看个简单的例子,一个 8 位无符号定点数 U(a,b) = U(4,4),比如说 x = 1011.1111 = 0xBF (hex) = 191d (dec),其真实值便是:

x=1011.1111=8+2+1+0.5+0.25+0.125+0.0625=11.9375x = 1011.1111 = 8 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 11.9375

另一种得到真实值的方法就是用其无小数点十进制值 (191d) 除以 2b{2^b}。1011.1111 中,b 为 4,所以也可以这样表示:

x=191/24=191/16=11.9375x = 191/{2^4} = 191/16 = 11.9375

再如下面这些 16 位无符号数:

  • 0000000100000000 = 00000001 . 00000000 = 1d (1 decimal)
  • 0000001000000000 = 00000010 . 00000000 = 2d
  • 0000001010000000 = 00000010 . 10000000 = 2.5d

有符号定点数

对于有符号数,其最高位 (most significant bit, MSB) 的权值是 2N12^{N - 1},补码则是 2N1- {2^{N - 1}}。所以处理 N 位有符号数时,我们会单独取一个符号位,然后是 a 个整数位,b 个小数位,用 A(a,b) 来表示。在 U(a,b) 中,N = a+b,而在 A(a,b) 中,N = 1+a+b

NA(a,b) 有符号二进制数的真实值可以通过下式表示:

x=(1/2b)[2N1xN1+n=0N22nxn]x=(1/2^b)\Big[-2^{N-1}x_{N-1}+\sum_{n=0}^{N-2}2^nx_n\Big]

例如下列 16 位有符号定点数 A(7,8)

  • 00000000100000000 = 00000001 . 00000000 = 1d
  • 10000000100000000 = 10000001 . 00000000 = -128 + 1 = -127d
  • 00000001000000000 = 00000010 . 00000000 = 2d
  • 10000001000000000 = 10000010 . 00000000 = -128 + 2 = -126d
  • 00000001010000000 = 00000010 . 10000000 = 2.5d
  • 10000001010000000 = 10000010 . 10000000 = -128 + 2.5 = -125.5d

特性

先大致看一下:

  • 无符号数 U(a,b) 的取值:0x2a2b0 \leqslant x \leqslant 2^a-2^{-b}
  • 有符号数 A(a,b) 的取值:2ax2a2b-2^a \leqslant x \leqslant 2^a-2^{-b}
  • 两个不同格式的数相加时,需要将小数点位对齐再执行加法
  • 两个 A(a,b) 相加结果形如 A(a+1,b),而 U(a,b) 相加结果形如 U(a+1,b)
  • U(a,b)U(c,d) 相乘结果形如 U(a+c,b+d)
  • A(a,b)A(c,d) 相乘结果形如 A(a+c+1,b+d)

精度

精度 (precision) 有时有不同定义,根据 Randy Yates1 的定义,定点数的精度就是它的字长,例如 A(13,2) 就是 16 位精度(我比较倾向于这种定义)。

而根据 Wikibooks2 上的定义,定点数的精度为小数位的长度,也就是 U(a,b)A(a,b) 中的 b。

值域

值域 (range,暂且用这个词吧) 就是可取最大值与最小值之差。例如 A(13,2) 的取值在 -8192 到 +8191.75 之间,则其值域就是 16383.75。

同样地,U(8,8) 取值在 282^{-8}28282^8-2^{-8}间,则其值域可以这样表示:

  ---+-----------+-----------+-----------+-----------+----------   ----------+--------------------
     0         2^-8        2.2^-8      3.2^-8      4.2^-8       ...       2^8-2^-8
                 |                                                           |
           smallest number representable                                largest one

分辨率

分辨率 (resolution) 就是可表示的最小非零数的大小,例如 A(13,2) 的分辨率为 1/22=0.251/2^2 = 0.25。这个值也是两个值间的间隔,对 U(8,8) 可表示为:

  ---+-----------+-----------+-----------+-----------+----------   ----------+--------------------
     0         2^-8        2.2^-8      3.2^-8      4.2^-8       ...       2^8-2^-8
     |<--------->|           |<--------->|
      resolution              resolution

准确度

看到这里我是有点懵*的,都不知道用什么词翻译比较准确了,反正我就这么理解了,以后看到准确翻译再 refresh 吧,自己就是这么弱……

这里的准确度 (accuracy) 呢就是定点数与其表示的真实值之间的最大差值(这样看来像是一个误差的感觉)。例如,A(13,2) 的准确度是 1/8。它与精度的关系为:

Accuracy(F)=Resolution(F)/2Accuracy(F) = Resolution(F)/2

其中的 F 表示数据格式。对 U(8,8) 来说,其准确度可表示为:

  ---+-----------+-----------+-----|-----+-----------+----------   ----------+--------------------
     0         2^-8        2.2^-8  |   3.2^-8      4.2^-8       ...       2^8-2^-8
                                   |
                                   | real value we need to represent
                              <--->
                            Accuracy is the largest such difference

所以,这个 accuracy 是针对具体要表示的数来说的,是这个实数与计算机能表示的数之间的最大差值。

定点数部分就到这里吧。

浮点数

UC Berkeley 有个网页介绍 IEEE 浮点数标准的历史3,有兴趣可以去看看,我暂且不看了,有时间当小说阅读吧。

先来看看常见的一些浮点数(十进制):6.02×10236.02 \times 10^{23}0.000001-0.0000011.23456789×10191.23456789 \times 10^{-19}1.0-1.0

所谓浮点数,也就是那个小数点的位置可以浮动咯,比如说这个:

1.23456789×1019=12.3456789×1020=0.000000000000000000123456789×1001.23456789\times10^{-19}=12.3456789\times10^{-20}=0.000 000 000 000 000 000 123 456 789\times10^0

由于是 10 的指数,小数点可以方便的移动。

IEEE 标准浮点数

由于现代编程语言大多采用 IEEE 标准的浮点数,所以我们这里也主要集中于 IEEE 标准。

格式

正如前面所说,浮点数利用科学计数法来表达实数,即用一个尾数 (Mantissa),一个基数 (Base),一个指数 (Exponent) 以及一个表示正负的符号来表达实数。

对于 IEEE 浮点数,有不同的字长,32 位、64 位、80 位等等,但都可以通过以下形式将一个实数转为 IEEE 浮点数形式:

x=±1.bbbbbb...bbb×2bbb...bbx=\pm1.bbbbbb...bbb\times2^{bbb...bb}
  • b(s) 表示各个位
  • ±\pm 是符号位,通常由第一位表示,0 标志该数为正,1 标志该数为负
  • 1.bbbbbb…bbb 即为尾数
  • 2 为基数
  • 指数上的 bbb…bb 即为指数
  • 这是规范化的数,小数点左侧只有一位
  • 由于第一位总是 1,所以计算机中不需要存储这个位,它是一个隐含位

位编码

拿到任意一个二进制表示的实数时,将其转为 IEEE 格式需要

  1. 先将其规范化
  2. 然后调整其指数

例如数

y=+1000.100111y=+1000.100111

先将其规范化为:

y=+1.000100111×23y=+1.000100111\times2^3

上面的指数 3 表示了我们将小数点位置向左移动了三位,在二进制中也就是将原来的尾数 1000.100111 除以了 8,因此在指数部分再把 8 乘回来,也就是 ×23\times2^3

如果要把上面的数 yy 完全用二进制表示,就要把 2 转换成二进制的 10、3 转换成二进制的 11,最后得到

y=+1.000100111×1011y=+1.000100111\times10^{11}

所以,在计算机世界中,我们只需要存储三部分的信息就可以表示这个实数:

  1. 0 表示符号位 +
  2. 000100111 表示尾数(小数点左侧的 1 上面已经说过是隐含位,不用存储)
  3. 然后需要存储指数 11

用 32 位表示上面的数 yy,各位的分布就是这个样子的:

   31 30      23 22                    0
 +---+----------+-----------------------+
 | s | exponent |       mantissa        | 
 | 1 |    8     |          23           |
 +---+----------+-----------------------+
  • MSB 是符号位,占 1 位
  • 接下来的 8 位存储指数信息
  • 接下来的 23 位存储尾数

所以 32 位的 yy 就长这个样子:

y = 0 bbbbbbbb 0001001110000000000000

哈哈,你可能注意到了上面的指数信息还没有用二进制表示出来。那是因为 IEEE 起草的标准不使用 2 的补码来表示指数部分的正负信息,而是采用一个 bias 来表示,参见下面表格(弄表格其实我内心是拒绝的,markdown 表格好麻烦呀)。

real exponentstored exponentcomments
-1260special case #1
-1261 
-1252 
-1243 
-1234 
.. 
.. 
.. 
-1126 
0127 
1128 
2129 
3130 
.. 
.. 
.. 
127254 
128255special case #2

所以,数 yy 的实数指数是 3,然后加上 127 得到 130 (参考上表),转为二进制则为 1000 0010,这就是实际存储的指数部分的值。也就是说 yy 最终的 32 位 IEEE 表示为:

y = 0 10000010 0001001110000000000000

上面说的这个 bias 我也不知道怎么翻译好,但它的用处就是确定指数部分的正负。对于上面的 32 位浮点数来说,这个 bias 就是 127(111 1111),实数指数加上这个 bias 转换为无符号二进制数来表示指数部分。当所存储的指数大于 127 时,这个指数就为正,而小于就为负,等于就为 0。而为什么 IEEE 要这样安排呢?我在 StackOverflow4 上找到一个解答,简要来说就是让这个指数部分更容易区分大小,有兴趣可以去仔细看看(下文也会展开讨论)。

特例

正如上面表格中的 comments,这里有几个特例需要注意。

零值

由于 0 这个数的二进制表示中不存在 1,我们将不能将其规范化,按上面的介绍也不能将其转成 IEEE 格式。所以我们的第一个特例就是这个 0,其 32 位 IEEE 格式表示为:

0.0 = 0 00000000 0000000000000000000000

极小值

按上面表格,当存储的指数部分为 0 时,对应的实数指数为 -126,也就是尾数需要乘以 21262^{-126},这是一个非常小的值。这种情况下,IEEE 约定尾数部分就不包含隐含的那位 1。

也就是说,当指数部分存储的是 0,而尾数部分又不为 0 的时候(例如 0001000…0),实际的尾数就变成 0.0001000…0,小数点左侧不再为 1,这样就可以用来存储更小的实数了。

举个例子就更清晰了,以 IEEE 浮点数 0 00000000 00100000000000000000000 为例:

  • 指数部分为 0,也就是对应的实数指数为 -126
  • 尾数部分不再包含隐含的 1,而变为 0.001000…00,对应的十进制数为 0.125
  • 这个二进制浮点数对应的实数则为 0.125×2126=1.4693679e390.125\times2^{-126}=1.4693679e^{-39}

极大值

极大值又有两种情况:无穷大和 NaN。

先来看无穷的情况,当存储的指数信息为 255 时,对应的实数指数就是 127,尾数就需要乘以这个最大的 21272^{127}。这种情况下,当尾数为 0 时,IEEE 就规定这个数表示的是无穷大(infinity)。所以当采用浮点数计算并得到的值超过所用位数所能存储的值时,IEEE 就提供了一个特殊值 ‘infinity’ 或 ‘∞’ 来表示。因为符号位可能为 0 可能为 1,所以也就有 ‘+∞’ 和 ‘-∞’:

+∞ = 0 11111111 00000000000000000000000

-∞ = 1 11111111 00000000000000000000000

另外一种情况是 NaN (Not a Number)5。当指数部分存储的是 255,而尾数部分不全为 0 时, IEEE 规范给出的值就是 NaN。之前在很多程序语言的教程中都看到过 NaN,现在终于看到它的庐山真面目了。

下面这段 java 代码来自 StackOverflow.com6,看看 java 中有些什么情况会得到 NaN:

import java.util.*;
import static java.lang.Double.NaN;
import static java.lang.Double.POSITIVE_INFINITY;
import static java.lang.Double.NEGATIVE_INFINITY;

public class NaN {
    public static void main(String args[]) {
        double[] allNaNs = {
            0D/0D,
            POSITIVE_INFINITY / POSITIVE_INFINITY,
            POSITIVE_INFINITY / NEGATIVE_INFINITY,
            NEGATIVE_INFINITY / POSITIVE_INFINITY,
            NEGATIVE_INFINITY / NEGATIVE_INFINITY,
            0 * POSITIVE_INFINITY,
            0 * NEGATIVE_INFINITY,
            Math.pow(1, POSITIVE_INFINITY),
            POSITIVE_INFINITY + NEGATIVE_INFINITY,
            NEGATIVE_INFINITY + POSITIVE_INFINITY,
            POSITIVE_INFINITY - POSITIVE_INFINITY,
            NEGATIVE_INFINITY - NEGATIVE_INFINITY,
            Math.sqrt(-1),
            Math.log(-1),
            Math.asin(-2),
            Math.acos(+2),
        };
        System.out.println(Arrays.toString(allNaNs));
        // prints "[NaN, NaN...]"
        System.out.println(NaN == NaN); // prints "false"
        System.out.println(Double.isNaN(NaN)); // prints "true"
    }
}

浮点数值域

值域,也就是从 -infinity 到 +infinity 之间的“空间大小”,下表列出了非规范化和规范化单精度(32 位)及双精度(64 位)的值域:

 denormalizednormalizedapproximate decimal
single precision±2149\pm2^{-149} to (1223)×2126(1-2^{-23})\times2^{-126}±2126\pm2^{-126} to (2223)×2127(2-2^{-23})\times2^{127}±1044.85\pm\sim10^{-44.85} to 1038.53\sim10^{38.53}
double precision±21074\pm2^{-1074} to (1252)×21022(1-2^{-52})\times2^{-1022}±21022\pm2^{-1022} to (2252)×21023(2-2^{-52})\times2^{1023}±10323.3\pm\sim10^{-323.3} to 10308.3\sim10^{308.3}

上面这个表格数字比较难记住,如果想简单确认一下可用的值,可记下这个简化的表格:

 denormalizednormalized
single precision±(2223)×2127\pm(2-2^{-23})\times2^{127}±1038.53\sim\pm10^{38.53}
double precision±(2252)×21023\pm(2-2^{-52})\times2^{1023}±10308.25\sim\pm10^{308.25}

间隔

与定点数不同,浮点数有个指数项,这个指数越大,那么这个浮点数与相邻两数间的差距越大。

下面以一个 8 位浮点数为例,1 位是其符号位,3 位存储指数值(因此能存储的最大指数为 7,bias 为 3),另外 4 位存储尾数。

下面这个表格列出了所有采用这种格式能表示的实数值(哈哈,这次这个表格不用手动输入了,用这个 fakeFloatingPoint.py gist 直接输出 markdown 表格,😁,当然要稍作修改)。

可以看到,随着数值变大,相继两个数的差值也变大,例如 -15.5 和 -15.0,相差 0.5,这两个数之间的其他任何实数,想用这样的 8 位浮点数表示都是无能为力的。而随着数值变小,例如 0 附近的 0.0078125 和 0.015625,差值变得很小,能表示的实数也越多。

real valuebyte integerstored [sign exp mantissa]floating point
-inf2401 111 0000-inf
-15.52391 110 1111- 1.9375 * 2^ 3
-15.02381 110 1110- 1.875 * 2^ 3
-14.52371 110 1101- 1.8125 * 2^ 3
-14.02361 110 1100- 1.75 * 2^ 3
-13.52351 110 1011- 1.6875 * 2^ 3
-13.02341 110 1010- 1.625 * 2^ 3
-12.52331 110 1001- 1.5625 * 2^ 3
-12.02321 110 1000- 1.5 * 2^ 3
-11.52311 110 0111- 1.4375 * 2^ 3
-11.02301 110 0110- 1.375 * 2^ 3
-10.52291 110 0101- 1.3125 * 2^ 3
-10.02281 110 0100- 1.25 * 2^ 3
-9.52271 110 0011- 1.1875 * 2^ 3
-9.02261 110 0010- 1.125 * 2^ 3
-8.52251 110 0001- 1.0625 * 2^ 3
-8.02241 110 0000- 1.0 * 2^ 3
-7.752231 101 1111- 1.9375 * 2^ 2
-7.52221 101 1110- 1.875 * 2^ 2
-7.252211 101 1101- 1.8125 * 2^ 2
-7.02201 101 1100- 1.75 * 2^ 2
-6.752191 101 1011- 1.6875 * 2^ 2
-6.52181 101 1010- 1.625 * 2^ 2
-6.252171 101 1001- 1.5625 * 2^ 2
-6.02161 101 1000- 1.5 * 2^ 2
-5.752151 101 0111- 1.4375 * 2^ 2
-5.52141 101 0110- 1.375 * 2^ 2
-5.252131 101 0101- 1.3125 * 2^ 2
-5.02121 101 0100- 1.25 * 2^ 2
-4.752111 101 0011- 1.1875 * 2^ 2
-4.52101 101 0010- 1.125 * 2^ 2
-4.252091 101 0001- 1.0625 * 2^ 2
-4.02081 101 0000- 1.0 * 2^ 2
-3.8752071 100 1111- 1.9375 * 2^ 1
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-1.93751911 011 1111- 1.9375 * 2^ 0
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-1.81251891 011 1101- 1.8125 * 2^ 0
-1.751881 011 1100- 1.75 * 2^ 0
-1.68751871 011 1011- 1.6875 * 2^ 0
-1.6251861 011 1010- 1.625 * 2^ 0
-1.56251851 011 1001- 1.5625 * 2^ 0
-1.51841 011 1000- 1.5 * 2^ 0
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-1.18751791 011 0011- 1.1875 * 2^ 0
-1.1251781 011 0010- 1.125 * 2^ 0
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-0.93751741 010 1110- 1.875 * 2^ -1
-0.906251731 010 1101- 1.8125 * 2^ -1
-0.8751721 010 1100- 1.75 * 2^ -1
-0.843751711 010 1011- 1.6875 * 2^ -1
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-0.751681 010 1000- 1.5 * 2^ -1
-0.718751671 010 0111- 1.4375 * 2^ -1
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-0.656251651 010 0101- 1.3125 * 2^ -1
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-0.4843751591 001 1111- 1.9375 * 2^ -2
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-0.4531251571 001 1101- 1.8125 * 2^ -2
-0.43751561 001 1100- 1.75 * 2^ -2
-0.4218751551 001 1011- 1.6875 * 2^ -2
-0.406251541 001 1010- 1.625 * 2^ -2
-0.3906251531 001 1001- 1.5625 * 2^ -2
-0.3751521 001 1000- 1.5 * 2^ -2
-0.3593751511 001 0111- 1.4375 * 2^ -2
-0.343751501 001 0110- 1.375 * 2^ -2
-0.3281251491 001 0101- 1.3125 * 2^ -2
-0.31251481 001 0100- 1.25 * 2^ -2
-0.2968751471 001 0011- 1.1875 * 2^ -2
-0.281251461 001 0010- 1.125 * 2^ -2
-0.2656251451 001 0001- 1.0625 * 2^ -2
-0.251441 001 0000- 1.0 * 2^ -2
-0.11718751431 000 1111- 0.9375 * 2^ -3
-0.1093751421 000 1110- 0.875 * 2^ -3
-0.10156251411 000 1101- 0.8125 * 2^ -3
-0.093751401 000 1100- 0.75 * 2^ -3
-0.08593751391 000 1011- 0.6875 * 2^ -3
-0.0781251381 000 1010- 0.625 * 2^ -3
-0.07031251371 000 1001- 0.5625 * 2^ -3
-0.06251361 000 1000- 0.5 * 2^ -3
-0.05468751351 000 0111- 0.4375 * 2^ -3
-0.0468751341 000 0110- 0.375 * 2^ -3
-0.03906251331 000 0101- 0.3125 * 2^ -3
-0.031251321 000 0100- 0.25 * 2^ -3
-0.02343751311 000 0011- 0.1875 * 2^ -3
-0.0156251301 000 0010- 0.125 * 2^ -3
-0.00781251291 000 0001- 0.0625 * 2^ -3
0.000 000 00000.0
0.007812510 000 0001+ 0.0625 * 2^ -3
0.01562520 000 0010+ 0.125 * 2^ -3
0.023437530 000 0011+ 0.1875 * 2^ -3
0.0312540 000 0100+ 0.25 * 2^ -3
0.039062550 000 0101+ 0.3125 * 2^ -3
0.04687560 000 0110+ 0.375 * 2^ -3
0.054687570 000 0111+ 0.4375 * 2^ -3
0.062580 000 1000+ 0.5 * 2^ -3
0.070312590 000 1001+ 0.5625 * 2^ -3
0.078125100 000 1010+ 0.625 * 2^ -3
0.0859375110 000 1011+ 0.6875 * 2^ -3
0.09375120 000 1100+ 0.75 * 2^ -3
0.1015625130 000 1101+ 0.8125 * 2^ -3
0.109375140 000 1110+ 0.875 * 2^ -3
0.1171875150 000 1111+ 0.9375 * 2^ -3
0.25160 001 0000+ 1.0 * 2^ -2
0.265625170 001 0001+ 1.0625 * 2^ -2
0.28125180 001 0010+ 1.125 * 2^ -2
0.296875190 001 0011+ 1.1875 * 2^ -2
0.3125200 001 0100+ 1.25 * 2^ -2
0.328125210 001 0101+ 1.3125 * 2^ -2
0.34375220 001 0110+ 1.375 * 2^ -2
0.359375230 001 0111+ 1.4375 * 2^ -2
0.375240 001 1000+ 1.5 * 2^ -2
0.390625250 001 1001+ 1.5625 * 2^ -2
0.40625260 001 1010+ 1.625 * 2^ -2
0.421875270 001 1011+ 1.6875 * 2^ -2
0.4375280 001 1100+ 1.75 * 2^ -2
0.453125290 001 1101+ 1.8125 * 2^ -2
0.46875300 001 1110+ 1.875 * 2^ -2
0.484375310 001 1111+ 1.9375 * 2^ -2
0.5320 010 0000+ 1.0 * 2^ -1
0.53125330 010 0001+ 1.0625 * 2^ -1
0.5625340 010 0010+ 1.125 * 2^ -1
0.59375350 010 0011+ 1.1875 * 2^ -1
0.625360 010 0100+ 1.25 * 2^ -1
0.65625370 010 0101+ 1.3125 * 2^ -1
0.6875380 010 0110+ 1.375 * 2^ -1
0.71875390 010 0111+ 1.4375 * 2^ -1
0.75400 010 1000+ 1.5 * 2^ -1
0.78125410 010 1001+ 1.5625 * 2^ -1
0.8125420 010 1010+ 1.625 * 2^ -1
0.84375430 010 1011+ 1.6875 * 2^ -1
0.875440 010 1100+ 1.75 * 2^ -1
0.90625450 010 1101+ 1.8125 * 2^ -1
0.9375460 010 1110+ 1.875 * 2^ -1
0.96875470 010 1111+ 1.9375 * 2^ -1
1.0480 011 0000+ 1.0 * 2^ 0
1.0625490 011 0001+ 1.0625 * 2^ 0
1.125500 011 0010+ 1.125 * 2^ 0
1.1875510 011 0011+ 1.1875 * 2^ 0
1.25520 011 0100+ 1.25 * 2^ 0
1.3125530 011 0101+ 1.3125 * 2^ 0
1.375540 011 0110+ 1.375 * 2^ 0
1.4375550 011 0111+ 1.4375 * 2^ 0
1.5560 011 1000+ 1.5 * 2^ 0
1.5625570 011 1001+ 1.5625 * 2^ 0
1.625580 011 1010+ 1.625 * 2^ 0
1.6875590 011 1011+ 1.6875 * 2^ 0
1.75600 011 1100+ 1.75 * 2^ 0
1.8125610 011 1101+ 1.8125 * 2^ 0
1.875620 011 1110+ 1.875 * 2^ 0
1.9375630 011 1111+ 1.9375 * 2^ 0
2.0640 100 0000+ 1.0 * 2^ 1
2.125650 100 0001+ 1.0625 * 2^ 1
2.25660 100 0010+ 1.125 * 2^ 1
2.375670 100 0011+ 1.1875 * 2^ 1
2.5680 100 0100+ 1.25 * 2^ 1
2.625690 100 0101+ 1.3125 * 2^ 1
2.75700 100 0110+ 1.375 * 2^ 1
2.875710 100 0111+ 1.4375 * 2^ 1
3.0720 100 1000+ 1.5 * 2^ 1
3.125730 100 1001+ 1.5625 * 2^ 1
3.25740 100 1010+ 1.625 * 2^ 1
3.375750 100 1011+ 1.6875 * 2^ 1
3.5760 100 1100+ 1.75 * 2^ 1
3.625770 100 1101+ 1.8125 * 2^ 1
3.75780 100 1110+ 1.875 * 2^ 1
3.875790 100 1111+ 1.9375 * 2^ 1
4.0800 101 0000+ 1.0 * 2^ 2
4.25810 101 0001+ 1.0625 * 2^ 2
4.5820 101 0010+ 1.125 * 2^ 2
4.75830 101 0011+ 1.1875 * 2^ 2
5.0840 101 0100+ 1.25 * 2^ 2
5.25850 101 0101+ 1.3125 * 2^ 2
5.5860 101 0110+ 1.375 * 2^ 2
5.75870 101 0111+ 1.4375 * 2^ 2
6.0880 101 1000+ 1.5 * 2^ 2
6.25890 101 1001+ 1.5625 * 2^ 2
6.5900 101 1010+ 1.625 * 2^ 2
6.75910 101 1011+ 1.6875 * 2^ 2
7.0920 101 1100+ 1.75 * 2^ 2
7.25930 101 1101+ 1.8125 * 2^ 2
7.5940 101 1110+ 1.875 * 2^ 2
7.75950 101 1111+ 1.9375 * 2^ 2
8.0960 110 0000+ 1.0 * 2^ 3
8.5970 110 0001+ 1.0625 * 2^ 3
9.0980 110 0010+ 1.125 * 2^ 3
9.5990 110 0011+ 1.1875 * 2^ 3
10.01000 110 0100+ 1.25 * 2^ 3
10.51010 110 0101+ 1.3125 * 2^ 3
11.01020 110 0110+ 1.375 * 2^ 3
11.51030 110 0111+ 1.4375 * 2^ 3
12.01040 110 1000+ 1.5 * 2^ 3
12.51050 110 1001+ 1.5625 * 2^ 3
13.01060 110 1010+ 1.625 * 2^ 3
13.51070 110 1011+ 1.6875 * 2^ 3
14.01080 110 1100+ 1.75 * 2^ 3
14.51090 110 1101+ 1.8125 * 2^ 3
15.01100 110 1110+ 1.875 * 2^ 3
15.51110 110 1111+ 1.9375 * 2^ 3
inf1120 111 0000+ inf

通过下面这张图也能清楚看到这个 8 位浮点数能表示的实数。

8 位浮点数表示的实数

另外,这张图表示了更宽范围的浮点数的误差7

浮点数范围

bias

上面其实走神了,没看到这部分就先去查了查为什么要用 bias 而不用 2 的补码来表示指数部分。也好,增加了阅历,这里就来看个例子加深一下印象(直接拷贝过来的,懒):

0.00000005=0 01100110 10101101011111110010101
1=0 01111111 00000000000000000000000
65536.5=0 10001111 00000000000000001000000

这三个数是按大小排列的,观察其指数部分(蓝色),也是从小到大的。也就是说,如果你有两个正浮点数,简单比较一下其指数部分就能直观得到孰大孰小。同样的,两个负浮点数,除开符号位,其指数部分数值越大,这个数越负。甚至可以用来比较正负浮点数的绝对值大小!:-)

到这里我想已经很清楚文章开头的问题了,JavaScript 采用浮点数类型,表示实数的时候自然会存在那样的问题。

题外话:最近看了一个关于自我表达的一个视频,我觉得现在社会就需要有用的自我表达,写博客就是其中一个呀……

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